The following paper presents, among others, a wide generalization of tensor product of vector spaces or K-modules. Though written in the seventies, it was never published.
The present version includes some minor (but not definitive) modifications.
February 2001
A. Schreiden

LE PRODUIT TENSORIEL EN ALGEBRE UNIVERSELLE

TABLE O

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O : INTRODUCTION
A : GENERALITES
B : PROBLEMES UNIVERSELS
C : V-MUTATION
D : V-MUTATION AU SENS ELARGI
E : PRODUIT TENSORIEL
F : PRODUIT TENSORIEL AU SENS ELARGI
G : LE FACTORISANT
H : IDEMPOTENCE
I : RACCORD AVEC LES DEFINITIONS USUELLES
J : BIBLIOGRAPHIE

O. INTRODUCTION


O1. La présente étude a pour objet d’établir une présentation unifiée et simple, et la plus générale possible, du produit tensoriel et aussi des principales structures qui usuellement sont définies à partir de celui-ci.
Cette étude est menée dans le cadre combiné des classes quasi-équationnelles d’OMEGA-algèbres (ou algèbres universelles) finitaires et des définitions universelles.
TABLE O

O2. En fait, la notion de problème universel servira à mettre sur pied, dans un cadre très large, deux définitions essentielles :

- La V-Mutation, généralisation fort large mais très naturelles de concepts permettant d’enrichir une structure (algèbre de groupe, algèbre tensorielle, ...);

- Le produit tensoriel lui-même, mais largement généralisé.
TABLE O

O3. Pour une meilleure classification des exemples, il a été jugé commode de parler également de V-Mutation et de produit tensoriel au sens élargi. Ces concepts étendent encore les concepts stricto sensu.
Les objets obtenus par V-Mutation ou produit tensoriel au sens élargi pourront toujours s’obtenir en divisant par une congruence adéquate, les objets obtenus par V-Mutation ou produit tensoriel stricto sensu.
TABLE O

O4. Soulignons que la V-Mutation, au sens strict ou élargi, permettra par exemple de construire les algèbres tensorielle ou symétrique d’un module sur un anneau commutatif unitaire, sans aucun recours aux notions de produit tensoriel ou d’algèbre graduée.
Le raccord entre ces présentations nouvelles et les présentations usuelles de ces algèbres, sera effectué dans la dernière partie (partie I) du présent texte.
TABLE O

O5. Le tableau suivant résume les divers points qui précèdent et indique en outre, dans la colonne de droite, les principaux exemples qui à la fois sont liés au produit tensoriel et repris dans le présent texte. Bien entendu, La V-Mutation et le produit tensoriel s’appliquent aussi à une foule d’autres exemples, non repris dans le présent travail.

V-MutationAlgèbre tensorielle
Algèbre symétrique
Algèbre extérieure
Extension de l'anneau des scalaires		d'un module sur un
anneau commutatif
V-Mutation
au sens élargi		Algèbre symétrique (présentation 2)
Algèbre extérieure (présentation 2)
Algèbre universelle enveloppante d'une algèbre de Lie
Produit tensoriel Produit tensoriel
Puissance tensorielle r-ème		dans une classe quasi-équationnelle
quelconque V; la ou les algèbres de
départ peuvent par ailleurs ne pas
appartenir à V, mais doivent être de
même type OMEGA que V .
Produit tensoriel
au sens élargi		Puissance symétrique r-ème
Puissance tensorielle r-ème

TABLE O

O6. D’autre part, on se devait d’accorder un minimum d’importance à l’étude des propriétés de ces nouveaux concepts. Ainsi, par exemple, le principal résultat de la partie H est d’établir une condition nécessaire et suffisante pour que l’application canonique du produit direct dans le produit tensoriel soit injective. La partie G étudie également certains homomorphismes qui peuvent entre produits tensoriels (ou entre V-Mutations) construit(e)s dans des conditions analogues.
TABLE O


O7. Pour éviter de lourdes périphrases, on a dû se résigner à introduire certains néologismes (partie A).
Ainsi, pour ce qui est de la V-Mutation (au sens strict comme au sens élargi), on a sans doute pu constater (Tableau ci-avant) que ce terme désigne une notion tellement utile que l’on voit mal comment il eût été possible de travailler sans s’y référer par une dénomination précise.
D’un autre côté, la plupart de ces néologismes recouvriront et étendront (considérablement) des notions soit connues, soit immédiates.

- Ainsi, la V-Contraction de l’OMEGA-algèbre Ane sera autre que le quotient de Apar la congruence minimum parmi les congruences C telles que A/Cappartienne à la classe quasi-équationnelle V;

- Le terme multimorphisme généralisera évidemment les notions d’application (bilinéaire, K-r-linéaire, etc.) de la théorie des K-modules, ou encore, la notion de bihomomorphisme de lattis (5).

- La plupart des néologismes restants sont formés par analogie avec les termes “Coégaliseur” ou “Co-union” de la théorie des Catégories (19), et tout comme ces derniers, ils sont formés de manière à évoquer directement la notion qu’ils désignent. C’est en particulier le cas des termes Comorpheur et Comulteur introduits à la fin de la Partie A.
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(5) (19)

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